| 双曲正弦 |
sinh(x) |
$$ \frac{e^x - e^{-x}}{2} $$ |
反双曲正弦 |
arcsinh(x) |
$$ \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $$ |
(-∞, ∞) |
(-∞, ∞) |
| 双曲余弦 |
cosh(x) |
$$ \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$ |
反双曲余弦 |
arccosh(x) |
$$ \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) $$ |
[1, ∞) |
[0, ∞) |
| 双曲正切 |
tanh(x) |
$$ \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} $$ |
反双曲正切 |
artanh(x) |
$$ \frac12 \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) $$ |
(-1, 1) |
(-∞, ∞) |
| 双曲余切 |
coth(x) |
$$ \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} $$ |
反双曲余切 |
arcoth(x) |
$$ \frac12 \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) $$ |
(-∞, -1) ∪ (1, ∞) |
(-∞, 0) ∪ (0, ∞) |
| 双曲正割 |
sech(x) |
$$ \frac{2}{e^x + e^{-x}} $$ |
反双曲正割 |
arcsech(x) |
$$ \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}\right) $$ |
(0, 1] |
[0, ∞) |
| 双曲余割 |
csch(x) |
$$ \frac{2}{e^x - e^{-x}} $$ |
反双曲余割 |
arccsch(x) |
$$ \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right) $$ |
(-∞, 0) ∪ (0, ∞) |
(-∞, 0) ∪ (0, ∞) |